幂律：比特币价格可以预测吗？

文/NewBloc 基金经理 李复兴 幂律 1932年，生物学家Max Kleiber进行了一组实验。 他给各种哺乳动物称重，从200吨重的蓝鲸到重达几十克的小老鼠，以体重为横坐标，以动物单位时间内呼出的二氧化碳换算的代谢率为纵坐标，做出双对数坐标图（纵横坐标均取对数）。 拍好之后，出现了九颗星星连成一排的景象：所有的动物都站成一条直线！

erechos：Tasas metabólicas bales de varios animals。 紫外线。 21世纪以来，生物学家不断测量，发现这一规律的应用领域跨越了30个数量级：小到线粒体和细胞水平的低等生物，大到最大的哺乳动物，种​​类如此广泛跨度，将站在这条线上——3/4 的坡度。 如此多种互不相干的动物，一致地服从数学定律。 这就是克莱伯定律：对于哺乳动物来说，基础代谢率与体重的3/4次方成正比。 用一个优美简洁的数学公式表达就是F=c·M^¾

F：物种的平均新陈代谢

M：物种的平均质量

c：与环境温度有关的系数

源自圣经马太福音的马太效应、描述个人财富分布的帕累托法则（80/20法则）、描述书籍中词频分布的齐普夫法则、统计物理学中的无标度网络模型，商业领域的长尾理论，不确定性研究领域的黑天鹅——追根溯源，它们都有一个共同的数学定律：幂律。 这些来自社会学、哲学、物理学、语言学、生物学、经济学的低点，本质上是权力函数在不同学科中的体现。 这种分布规律就是幂律分布。 其实幂律分布不仅限于这些领域，地球科学（地震尺度）、天文学（月球陨石坑、行星碎片、太阳耀斑）、计算机科学（文件大小）、生态学、军事科学（战争尺度） )、神经科学（神经元活动模式）、人口学（姓氏分布）、社会学（城市规模、专利数量）、金融学（银行呆账、投资回报、股市崩盘）广泛存在。 已经发现了许多幂律分布的案例。 总结起来就是： 缺乏增长约束（微博粉丝数、财富分配） 跨越多个数量级的快速增长（稳定期前的细菌、月球陨石坑规模） 系统内个体之间的相关性（奥运数量）奖牌、城市规模、投资回报）

幂律分布表示为对数坐标下的一条直线，其斜率为幂指数的负数。 方程为：y=b·x^a。 服从幂律，可以用数学公式简明扼要地概括。 整个宇宙，包括人类社会，都充满了这个公式。 幂律无处不在。 有一种非常直观的显示幂律分布的方式：对数坐标。 在对数尺度下，幂律分布呈现出一条非常整齐的直线。 这可以从函数公式来解释。 幂函数公式y=b·x^a，两边同时取对数 logy = logb + a·logx→y'=ax'+b' 这样，非线性幂函数就变成了线性关系. 所以在对数坐标中，显示的是一条直线。 这种对数坐标下的线性关系是判断随机变量是否满足幂律的依据。 与普通坐标相比，对数坐标是按照指数增长来表示的，统一了一大堆看似杂乱无章的信息，剔除了很多噪音。 信息的本质是消除不确定性，这样的处理得到了平滑的序列，为研究和分析提供了极大的便利。 线性成长 我们生活中常见的就是线性思维和线性成长。 例如，你播种什么得到什么，你播种什么得到什么，你的工作会得到更多。 在时间序列上，增长方向保持不变，增长速度基本保持恒定速度。

在线性坐标系中，所有数据都排列在一条稳定的直线上。 在统计学中，用“决定系数”来描述这些数据的有序程度，用R²表示，它反映了“因变量的所有变异中，能够通过回归关系被自变量解释的比例” ”。 用人类的话来说，如果R²为0.99，那么99%的数据都可以用这条直线所显示的趋势来解释。 比如我经常用的场内货币基金银华日利，就是典型的线性增长。 上市6年不急，年化收益3.5%。

数据来源：Straight Flush推导出价格并对其进行拟合，R²=0.9946，为一条直线。

数据来源：Wind资讯 再比如，很多工作的收入都是线性增长的。 门卫、司机、前台、行政人员、政府工作人员、大部分教师、医生、护士、普通体育教练等。这些工作主要以工时计价，收入呈线性增长，确定性和稳定性高。 这种收入波动很低，收入的增长靠的是时间的奉献，正所谓一眼见底。 但是，也有很多东西不是线性增长的。 比如，一个有10万的人，赚到1万就很开心； 100万之后，赚10000的幸福感会差很多。 这是线性增长的缺点。 在这种情况下，也许再赚一百万就差不多幸福了，因为增长率是一样的。 这使用指数增长。 指数增长 指数增长也称为“几何增长”。 因为在几何学中，面积与边长的关系是乘积的函数关系（三角形的面积S=a·H/2），形象地表达了一个数按固定比例增长。 最重要的应用之一是复利。 指数增长是按照固定的增长率发展的。 随着时间的推移，基数越来越大，增长规模迅速扩大。 俗话说，行百里者半九十。 指数增长是固定比例的增长，不是每天进步一点点，而是每天进步同样的百分比，复利。 但是，如果 y 轴是对数刻度，则指数增长将显示为一条直线。

举个栗子。 贵州茅台的股价，在行情软件上用常用的线性坐标来看，是典型的指数增长。 这两年涨得太快了，说不准（下图蓝线）； 如果把Y坐标轴换成对数坐标，你会发现上升趋势并没有明显加速（下图中的黄线），除了2005-2007年整体市场泡沫的历史时期，股价一直在拟合线附近。 对于这条拟合线，确定系数 R² 高达 0.90。 当然，股价的变化一定要用对数坐标，因为复权后，5元的茅台涨到7.5元，和1000元的茅台涨到1500元涨幅是一样的。

数据来源：Wind资讯 我国1960年以来的GDP规模也是典型的指数级增长。 一开始规模不大，进展缓慢。 进入21世纪以来，迅速崛起，生产力得到彻底解放。

因为这两年GDP增​​速放缓，各种崩溃论又出来了。 如果我们把Y轴换成对数坐标，我们会发现没有什么可怕的。 GDP一直呈直线上升，R²高达0.9649，增速历史不俗。

简单来说，用指数坐标的表达方式，在克莱伯的实验中，“老鼠的体重从10克增加到20克”和“大象的体重从1吨增加到2吨”这两项可以结合起来。 把事物放在同一个维度，研究它们的变化规律。 对数增长 然而，很少有事物一直呈指数增长。 事物的增长，当数量级较小时，只需要少量的能量/时间，增长可以非常迅速； 随着时间的推移，体积变大，需要募集和消耗更多的能量。 所以，增长率逐渐衰减，无限接近增长的极限，甚至最终走下坡路，也是自然规律。 上次写过细菌培养实验，指数增长只能维持一定时间，最终会因为环境限制、自身免疫等原因导致增长速度下降。

这种需要更多的时间/资源来增加同样数量的增长方式就是对数增长。

举个栗子。 跑马拉松、学外语、弹钢琴，这些技能上手很简单，但在短时间内快速成长，后期更难提升。 因此，运动员、作家、艺术家等达到一定水平后，都需要更长的时间才能达到更高的水平。 芒格说，巴菲特每天看书5个小时，直到60岁才掌握投资技巧。 平庸与专家/大师的界限也在这里。 这就是为什么很多人年轻时成功了，长大后伤害了仲永。 力量增长最可持续的增长方式，回到最开始的克勒伯定律，就是力量增长。 简而言之，一个数量级的增长需要一个数量级的时间/资源。 这种幂律增长可以持续很长时间。

在生态学中，有一个捕食者-猎物模型，其中生物群落中生物量的规模变化符合幂律增长。

捕食者-猎物幂律：陆地和水生生物群落的生物量缩放 此外，一些论文作者的中心性和被引用的论文数量也遵循幂律。

2001-2006年神经科学学会年会论文摘要分析好吧，这时候我又想到了比特币。 比特币符合哪种增长条件？

线坐标下的秘密 首先，在最常见的线坐标下，煎饼的价格走势看起来极为混乱，这与银华日丽截然不同。 显然这不是线性增长，也不是银行存款。 直线坐标下，煎饼的价格疯狂波动，涨几十上百倍，腰、膝、脚踝处跌。 这个线性坐标显示的货币价格也是媒体上最常见的价格图表。 经常被各种人拿来调侃比特币，几乎成为比特币就是CX的证据。

在业内，分析师最常用的是取Y轴的对数。 在这个对数坐标下，比特币的价格看起来有序多了，有种让人挥手的冲动。 目前市场上有不少分析师在此基础上开发出各种分析模型。

可以看出，对数坐标给分析工作带来了很多好处：首先，将比特币多个数量级的价格统一为一个一致的观察维度； 第二，可以观察到比特币最早的价格发展轨迹，看到早期的人给出了大饼（小老鼠）的定价，而不仅仅是最近剧烈的价格变化（蓝鲸）； 三是有利于发现货币价格变化的深层线性规律，分析研究其背后的数学原理； 第四，去除线性坐标中杂乱的价格噪声，发现其背后的真实信息，降低分析维度；

最终克服价格波动的集群效应，弱化历史价格中隐藏的异方差和共线性，便于从整体上研究价格波动。 如果是指数增长，那么比特币的价格应该是一条向上倾斜的直线。 显然，在Y轴的对数下，币价在过去5年明显放缓。 比特币价格不符合对数增长。

比特币∈幂律

那么，对数对数坐标呢？ 以比特币诞生的2009年1月3日为1，每天加1，用这个自然数列——比特币诞生的天数作为x轴绘制趋势图，然后取对数it——见证奇迹时刻：

几乎所有的比特币历史价格都乖乖地站了一排。 我做了一个线性回归——它是一条向上倾斜的直线，R²=0.9567！ 也就是说，从比特币诞生之日起，经过10年的涨跌，95.67%的历史价格都包含在这条直线所揭示的趋势中。 比特币的价格表现出非常标准的电价上涨！

这样一来，价格曲线非常整齐：多个数量级的变化清晰可见，早期增长轨迹描述清晰，线性规律非常明显，噪音背后的信息一目了然，影响异方差和共线性减少。 去年秋天，比特币分析师 Harold Christopher Burger 就这个主题写了一篇广为流传的文章，从 2010 年 7 月的 Mt. Gox 价格开始，并制作了一个双对数图：

比特币的自然长期幂律增长走廊，Harold Christopher BurgerBurger得到的拟合线，R²=0.9314； 我加入了2009年10月5日到2010年7月16日的New Liberty Standard电价模型价格，线性回归后得到的R²=0.9567，比Burger的图更线性。 我也是按照自己的审美画了这条长期的价格走廊。

R²=0.9567，我相信这绝非巧合。 价格与时间之间存在一定的幂律关系，巧合的可能性极小。 伯格还统计了决定系数的历史变化，得出的结论是这个模型越来越倾向于更好地拟合币价！

比特币的自然长期幂律增长走廊，Harold Christopher Burger 表示，在过去的 10 年里，比特币的价格越来越符合幂律。 Burger根据这条价格走廊做出预测：2021年之前价格不会达到10万美元，2028年之后不会低于10万美元。2028年之前价格不会达到100万美元，2037年之后不会低于100万美元.预测，我不这么认为。 这里我们只玩价格和时间两个维度，这对于分析一个市场是远远不够的。 这些价格通道不能直接作为预测行情的依据。 不要陷入典型的“感恩节火鸡”归纳谬误。 当然比特币价格预估，从另一个逻辑出发，历史对未来是有指导意义的。 比特币的热度、稀缺性、价格周期运动等很大一部分信息都高度概括在过去11年的价格中。 因此比特币价格预估，币价所揭示的幂律值得细细研究。

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